Exercices pour profanes et amateurs

Il y a deux sortes d’exercices. D’abord les conséquences de corpus charpentés qui explicitent des cas d’application. Les idées existent alors dans la théorie qu’on illustre. Tel que fonctionne le système des publications actuellement les mathématiciens sont amenés, en tant que referees, à porter des jugements sur des articles soumis qui sont très nombreux. Tout ne peut pas être publié, la correction logique ne suffit pas. De façon assez subjective nous tentons de voir si les résultats obtenus sont surprenants où s’ils sont « de simples exercices ». Toute la culture, la doxographie, voire l’hagiographie, s’engouffre dans ces jugements.[1]
D’une certaine façon cette pure déclinaison est un peu ce que vise Thomas Kuhn lorsqu’il parle de science normale, celle qui fonctionne avec des paradigmes existants. La vertu de ces exercices est de lubrifier les rouages de la logique comme fait le Hanon pour le pianiste.
Mais il est une autre catégorie d’exercices qui sont des questions indépendantes, des situations où la théorie manque, est à construire. Cela peut être facile ou difficile, là n’est pas le critère. Le San Gaku japonais de l’époque de l’Edo est un exemple qui va rapidement à des difficultés redoutables.[2] Mais les questions peuvent être intéressantes et formatrices sans faire appel ni à des connaissances savantes ni à des calculs algébriques très élaborés.
Le plus bel exemple est le merveilleux recueil de Paul Halmos Problèmes pour mathématiciens, petits et grands[3] qui réussit à installer la pensée mathématique dans des situations très variées, des questions qui ouvrent vers d’autres questions, avec souvent très peu de moyens.
C’est en essayant de suivre l’esprit des problèmes inventés par ce grand mathématicien que j’ai rédigé quelques exercices que je mets ici en ligne. Certains s’adressent à des amateurs ayant (ou ayant eu jadis) une formation avancée. Merci de me signaler une erreur éventuelle.

[1] Cf. J.-M. Lévy-Leblond « La légende dorée de la physique moderne, un folklore révélateur » in La vitesse de l’ombre, Seuil 2006.
[2] Cf. N. Bouleau Science nomologique et science interprétative ISTE 2017 chap.2 et les références indiquées. Voir aussi sur ce blog l’article sur l’architecte Tadao Ando. A noter que le cas du San Gaku est intermédiaire entre nos deux catégories car la solution de l’énigme est une formule qu’on peut toujours obtenir en écrivant les équations par la géométrie analytique de Descartes.
[3] « Problems for mathematicians, young and old » (trad. de l’anglais par Catherine Bellaïche), Cassini, 2000, 334 p.

Exercices pour profanes et amateurs (fichier pdf)
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