Le plan d’Ito

Mouvement plan sur plan stochastique
Rappelons brièvement l’étude classique du mouvement plan sur plan.
Un plan (P’) rigide se déplace sur un plan (P) rigide lui aussi. Au cours du mouvement deux points A et B du plan (P’) ont les vitesses VA et VB. Comme la longueur |AB| reste constante, en dérivant le produit scalaire AB.AB, on voit que les projections de VA et de VB sur AB sont égales. C’est la propriété d’équiprojectivité du champ des vitesses.
Si tous les points de (P’) ont des vitesses parallèles, alors par équiprojectivité elles sont toutes égales, (P’) est en translation par rapport à (P) à l’instant t.
Supposons qu’il existe deux points du plan (P’) dont les vitesses ne soient pas parallèles, disons A et B. Soit I le point de (P’) intersection des normales à VA en A et à VB en B. Par équiprojectivité I a une vitesse nulle et un point quelconque M de (P’) a une vitesse VM perpendiculaire à IM. On peut voir facilement que ce champ de vitesse est celui d’une rotation autour de I qui est appelé centre instantané de rotation.
La position du point I change au cours du temps : il décrit une courbe (C’) dans le plan (P’) et une courbe (C) dans le plan (P). On suppose que ces courbes sont régulières. Un point variable sur le plan mobile a comme vitesse par rapport au plan fixe la somme de sa vitesse d’entraînement et de sa vitesse relativement à (P’). Comme la vitesse d’entraînement de I est nulle, sa vitesse absolue par rapport à (P) et sa vitesse relative à (P’) sont égales, donc les courbes (C) et (C’) sont tangentes en I.
Au cours du mouvement les deux courbes (C) et (C’) restent en contact. Comme les vitesses de leur point de contact I sont les mêmes sur les deux courbes, elles roulent sans glisser l’une sur l’autre. Le mouvement plan sur plan « général » est donc obtenu en faisant rouler une courbe sur une autre.
On voit de même que si une courbe (G1) est tracée dans (P’) au cours du mouvement elle a une enveloppe dans (P) soit (G0). La normale à (G1) à son point de contact avec (G0) passe par I.

La question du mouvement plan sur plan stochastique est de dire ce qui se passe lorsque le plan mobile est animé d’un mouvement stochastique. C’est à dire lorsque ses trois paramètres : coordonnées de son origine et son azimut soit (α, β, θ) sont un processus du type semi-martingale continue à valeurs R2×S1.
Le calcul d’Ito fait intervenir des différentielles et des crochets donc l’équiprojectivité n’a plus lieu. La conservation des longueurs du plan mobile fait que les différentielles d’Ito vérifient (dB(t)-dA(t)).(B(t)-A(t)) ≤ 0, il y a une contraction apparente de nature stochastique.
Maintenant, les écritures classiques sont conservées en Stratonovich, et on sait que le calcul stochastique s’obtient comme limite du cas classique en procédant de façon convenable. Peut-on partir du cas classique et voir ce qui se passe lorsque les courbes (C) et (C’) deviennent de plus en plus irrégulières ? Cette irrégularité dépendant du hasard comme une promenade aléatoire approche un mouvement brownien ?…

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